Մոգական քառակուսիներ

Ուսումնական նախագիծ․ «Մոգական քառակուսիներ»

Մասնակիցներ․ 7-9-րդ դասարանների սովորողներ

Աշխատանքի ձևաչափը․ Անհատական հետազոտական աշխատանք, արդյունքների հրապարակում սովորողի բլոգում

Նախագծի նպատակը․ Բացահայտել մոգական քառակուսիների օրինաչափությունները, զարգացնել տրամաբանական ու հանրահաշվական մտածողությունը և կատարել ինքնուրույն հետազոտություն։

Առաջադրանք 1.

Տրված է 3 x 3 չափսի աղյուսակ։ Տեղադրե՛ք 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 թվերը մեկական անգամ վանդակներում այնպես, որ յուրաքանչյուր տողում, յուրաքանչյուր սյունակում և գլխավոր անկյունագծերում գրված թվերի գումարը ստացվի նույն թիվը։ Այդպիսի աղյուսակները կոչվում են մոգական։

Հետազոտական աշխատանք․

1. Ի՞նչ ընդհանուր գումար ստացվեց տողերում, սյունակներում և գլխավոր անկյունագծերում։ 8+1+6=15 3+5+7=15 4+9+2=15 8+3+4=15 1+5+9=15 6+7+2=15 8+5+2=15 4+5+6=15

2. Ուսումնասիրե՛ք ձեր ստացած աղյուսակը․ ի՞նչ հետաքրքիր հատկություններով է այն օժտված (օրինակ՝ աղյուսակի անկյուններում գրված թվերի, մեջտեղում գրված թվի հետ կապված)։ Աղյուսակի մեջտեղում գրված է 5 թիվը, իսկ անկյուններում՝ 2, 4, 6 և 8 թվերը։ Անկյուններում գրված թվերի գումարը 20 է։ Մեջտեղի թիվը 5 է, իսկ հակառակ կողմերում գտնվող թվերի գումարները հավասար են 10-ի։

3. Փորձե՛ք ցանկացած 9 իրար հաջորդող բնական թվեր (օրինակ՝ 10-ից 18, կամ 100-ից 108) տեղադրել 3x3 չափսի աղյուսակի վանդակներում այնպես, որ այն դառնա մոգական։ Տեղադրե՛ք ստացված օրինակը բլոգում։

   

4. Ստուգե՛ք՝ Առաջադրանք 1-ում ձեր նշած հատկություններից որո՞նք են ճիշտ նաև այս նոր աղյուսակի համար։ Այս աղյուսակում նույնպես անկյուններում գտնվող հակառակ թվերի գումարները հավասար են։ Մեջտեղում գրված է 14-ը, իսկ անկյուններում՝ 11, 13, 15 և 17 թվերը։ Հակառակ անկյունների թվերը գումարելիս ստանում ենք 28։

5. Ի՞նչ կարող եք ասել տողի, սյան կամ անկյունագծի վրա գրված թվերի գումարի և աղյուսակի մեջտեղի (երկրորդ տողի երկրորդ վանդակի) թվի կապի մասին։ Տողի, սյան կամ անկյունագծի թվերի գումարը հավասար է աղյուսակի մեջտեղի թվի եռապատիկին։ Մեր դեպքում մեջտեղի թիվը 14 է, իսկ գումարը՝ 42։

6. Փորձե՛ք հիմնավորել կամ ապացուցել ձեր նկատած փաստը։ Քանի որ աղյուսակում կա 3 տող, և յուրաքանչյուր տողի գումարը նույնն է, բոլոր թվերի գումարը հավասար է այդ գումարի եռապատիկին։ Մեջտեղի թիվը հաշվի է առնվում 4 անգամ՝ կենտրոնով անցնող տողում, սյունում և երկու անկյունագծերում։ Հետևաբար ընդհանուր գումարից հանելով՝ ստանում ենք, որ տողի, սյան կամ անկյունագծի գումարը հավասար է մեջտեղի թվի եռապատիկին։ Մեր օրինակում՝ 14 x 3 = 42

7. Արդյո՞ք միայն իրար հաջորդող ինը բնական թվերը կարելի է այդպես դասավորել։ պատասխանը հիմնավորել օրինակով։ Ոչ, միայն իրար հաջորդող ինը բնական թվերը չէ, որ կարելի է այդպես դասավորել։ Օրինակ՝ կարելի է վերցնել 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 թվերը և դասավորել այնպես, որ յուրաքանչյուր տողի, սյան և անկյունագծի գումարը լինի 30։

8. Կազմե՛ք կամ ուսումնասիրե՛ք 4x4 վանդականից կազմված մոգական աղյուսակ։

   

9. Կազմե՛ք կամ ուսումնասիրե՛ք 5x5 վանդականից կազմված մոգական աղյուսակ։

   

10. Ի՞նչ նոր օրինաչափություն նկատեցիր աղյուսակը մեծացնելիս։ Կա՞ն արդյոք ընդհանուր օրինաչափություններ 4x4 կամ 5x5 չափսով մոգական քառակուսիներ կառուցելու համար։

    Նկատեցի, որ աղյուսակի չափը մեծացնելիս ավելանում են թվերը, բայց տողերի, սյուների և անկյունագծերի գումարները մնում են հավասար։ 4×4 և 5×5 մոգական աղյուսակներ նույնպես կարելի է կազմել՝ հետևելով որոշակի օրինաչափությունների։ Կարևոր է, որ յուրաքանչյուր տողի, սյան և անկյունագծի գումարը լինի նույնը։

11. Ուսումնասիրե՛ք մոգական քառակուսիների պատմությունը /որտե՞ղ և ե՞րբ են առաջին անգամ ի հայտ եկել մոգական քառակուսիները/։ Մոգական քառակուսիներն առաջին անգամ ի հայտ են եկել Հին Չինաստանում։ Ըստ լեգենդի՝ մոտ 3000 տարի առաջ Լո գետից դուրս եկած կրիայի պատյանին մարդիկ նկատել են թվերի հետաքրքիր դասավորություն։ Այդ քառակուսին կոչվել է «Լո Շու»։ Այնուհետև մոգական քառակուսիները տարածվել են Հնդկաստանում, արաբական երկրներում և Եվրոպայում

12. Գտե՛ք հետաքրքիր փաստեր և պատմություններ մոգական քառակուսիների վերաբերյալ։ 1.Հին Չինաստանում մարդիկ հավատում էին, որ մոգական քառակուսիները հաջողություն և պաշտպանություն են բերում։ 2.1514 թվականին գերմանացի նկարիչ Ալբրեխտ Դյուրերը իր «Melencolia I» նկարում պատկերել է 4×4 մոգական քառակուսի, որի բոլոր տողերի, սյուների և անկյունագծերի գումարը 34 է։ 3.Այդ քառակուսու ներքևի տողի մեջտեղի երկու թվերը 15 և 14 են։ Դրանք միասին ցույց են տալիս նկարի ստեղծման տարեթիվը՝ 1514։ 4. Մոգական քառակուսիները հանդիպում են նաև ճարտարապետության մեջ։ Օրինակ՝ նման քառակուսի կա Իսպանյաի Բարսելոնա քաղաքի Սագրադա Ֆամիլիա եկեղեցու պատին։ Այս փաստերը ցույց են տալիս, որ մոգական քառակուսիները հետաքրքրել են ոչ միայն մաթեմատիկոսներին, այլև նկարիչներին ու ճարտարապետներին։ Եզրակացություն․

Այս հետազոտության ընթացքում ես իմացա, թե ինչպես են կազմվում մոգական քառակուսիները և ինչ հետաքրքիր օրինաչափություններ ունեն դրանք։ Ինձ ամենաշատը զարմացրեց այն, որ տարբեր թվեր կարելի է դասավորել այնպես, որ բոլոր տողերի, սյուների և անկյունագծերի գումարները լինեն նույնը։ Նաև հետաքրքիր էր իմանալ, որ մոգական քառակուսիները հայտնի են դեռևս Հին Չինաստանից և օգտագործվել են նույնիսկ արվեստում։