Պարապմունք 17. երկրաչափություն

 Պարապմունք 17.

Թեմա՝ Ուղղանկյան մակերեսը

Թեորեմ: Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է կից կողմերի արտադրյալին՝ S=ab, տես նկարը։

Ապացույց:
Ենթադրենք՝ ուղղանկյան կից կողմերն են a և b: Ցույց տանք, որ դրա մակերեսը՝ S=ab:

Դիտարկենք a+b կողմով քառակուսի:


Դրա երկու կից կողմերը բաժանենք a և b երկարությամբ հատվածների և բաժանման կետերով տանենք կողմերին զուգահեռներ։

Մի կողմից, որպես a+b կողմով քառակուսի, դրա մակերեսը հավասար է (a+b)2: Մյուս կողմից՝ այդ քառակուսին կազմված է a և b կից կողմերով երկու ուղղանկյունից ու երկու քառակուսուց՝ մեկը a կողմով, մյուսը՝ b կողմով: Հետևաբար դրա մակերեսը հավասար է 2S+a2+b2:
Այսպիսով՝ (a+b)2=2S+a2+b2:
Որտեղից՝ a2+2ab+b2=2S+a2+b2:
Ուրեմն S=ab:
Թեորեմն ապացուցված է: 

Թեմա՝ Զուգահեռագծի մակերեսը 

Հիշենք, որ երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկի բոլոր կետերը հավասարահեռ են մյուս ուղղից:
Հետևաբար զուգահեռագծի կողմերից մեկի որևէ կետից դրա հանդիպակաց կողմն ընդգրկող ուղղին տարված ուղղահայացի երկարությունը կախված չէ այդ կետի ընտրությունից:
Սահմանում:
Զուգահեռագծի կողմերից մեկի որևէ կետից դրա հանդիպակաց կողմն ընդգրկող ուղղին տարված ուղղահայացը կոչվում է զուգահեռագծի բարձրություն, իսկ կողմը, որին տարված է ուղղահայացը, կոչվում է հիմք: 

Սովորաբար, բարձրությունը տանում են զուգահեռագծի գագաթից: Նկար BM-ը և BK-ն զուգահեռագծի բարձրություններն են: Մի դեպքում զուգահեռագծի հիմքը AD կողմն է, մյուս դեպքում՝ CD կողմը: 

Թեորեմ:
Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է դրա հիմքի և բարձրության արտադրյալին։


Ապացույց։
Ենթադրենք տրված է ABCD զուգահեռագիծը և BM-ը դրա բարձրությունն է։

Ցույց տանք, որ ABCD զուգահեռագծի մակերեսը
S=ADBM:

C գագաթից նույնպես տանենք բարձրություն` CN-ը:

Նախ նկատենք, որ BMNC քառանկյունն ուղղանկյուն է, իսկ AMB և DNC ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար են ըստ էջի ու ներքնաձիգի (հիմնավորեք ինքնուրույն):

Քանի որ AMB և DNC եռանկյունները հավասար են,ապա ABCD զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է BMNC ուղղանկյան մակերեսին` BMMN-ին: Բացի դրանից, քանի որ AMB և DNC եռանկյունները հավասար են, ապա AM=DN: Ուրեմն MN=AD:

Այսպիսով` S=BMMN=BMAD:
Թեորեմն ապացուցված է:

 
Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչ է ուղղանկյունը:

2. Ինչպե՞ս է հաշվվում ուղղանկյան մակերեսը՝ ըստ նրա կից կողմերի:

3. Ինչպե՞ս է հաշվվում ուղղանկյան պարագիծը:

4. Ի՞նչ է զուգահեռագիծը:

5. Ինչպե՞ս է սահմանվում զուգահեռագծի բարձրությունը:

6. Ինչպե՞ս է հաշվվում զուգահեռագծի մակերեսը։

7. Ուղղանկյան կից կողմերը 15 սմ և 6 սմ են: Գտե՛ք ուղղանկյան մակերեսը:

8. Ուղղանկյան կողմերից մեկը 5 սմ է, մյուսը 3 անգամ մեծ է դրանից: Գտե՛ք ուղղանկյան մակերեսը:

9. Ուղղանկյան կողմերից մեկը 12 դմ է, իսկ մակերեսը 96 դմ² է: Գտե՛ք ուղղանկյան պարագիծը:

10. Ուղղանկյան պարագիծը 24 սմ է, իսկ կողմերից մեկը 8 սմ է: Գտե՛ք ուղղանկյան մակերեսը:

11.  Զուգահեռագծի կողմերից մեկը 12 սմ է, դրան տարված բարձրությունը՝ 7 սմ: Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:

12. Զուգահեռագծի կողմերից մեկը 14 սմ է, իսկ այդ կողմին տարված բարձրությունը 2 անգամ փոքր է այդ կողմից: Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը: 

13. Զուգահեռագծի մակերեսը 63 սմ² է, կողմերից մեկը՝ 9 սմ: Գտե՛ք այդ կողմին տարված բարձրությունը:

14. Զուգահեռագծի կից կողմերը 6 սմ և 10 սմ են: Փոքր կողմին տարված բարձրությունը 9 սմ է: Գտե՛ք մեծ կողմին տարված բարձրությունը:

15.  Զուգահեռագծի կից կողմերը 8 մ և 11 մ են, իսկ սուր անկյունը՝ 30°: Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը: